LEGGI DI CONSERVAZIONE

Formulazione Integrale

Il moto di un mezzo continuo è governato dalle leggi di conservazione della massa, della quantità di moto e dell’energia. In un sistema di riferimento Galileiano la formulazione integrale delle leggi di conservazione è data dal seguente di sistema di equazioni

(1)

(2)

(3)

dove t è il tempo, r la densità, u la velocità, E=e+1/2½u½² è l’energia specifica totale con e energia interna specifica, S è il tensore degli sforzi, q il vettore flusso di calore, f_e la forza esterna per unità di volume, e n il versore normale uscente dal contorno S del volume di integrazione V (sono stati qui indicati con lettere in grassetto i simboli dei vettori che nelle formulazioni analitiche sono indicati con lettere soprassegnate con una freccetta). Inoltre, in questa formulazione non sono presenti pozzi o sorgenti di massa ed energia.

Formulazione Euleriana

Le proprietà del mezzo non devono essere necessariamente una funzione continua dello spazio e del tempo, se però sono continue e sufficientemente differenziabili, allora le equazioni nella forma integrale (1), (2) e (3) possono essere trasformate in un set equivalente di equazioni alle derivate parziali usando il teorema della divergenza:

(4)

(5)

(6)

Si ottengono così le equazioni nella cosiddetta forma euleriana.

Formulazione Lagrangiana

Mediante alcune identità vettoriali e semplici passaggi algebrici si deriva prontamente la seguente formulazione lagrangiana:

(7)

(8)

(9)

dove:

(10)

è detta derivata convettiva.

DERIVAZIONE DELLE EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES

Le variabili incognite nei precedenti sistemi di equazioni di conservazione sono la densità r, la velocità u e l’energia specifica E. Per ottenere un sistema chiuso devono essere aggiunte delle relazioni costitutive che legano il tensore degli sforzi S a u e il vettore flusso di calore q alla temperatura assoluta T. Consideriamo i fluidi Newtoniani per i quali il tensore degli sforzi è una funzione lineare del gradiente di velocità (legge di Newton)

(11)

dove

(12)

è il tensore del tasso di deformazione (l’apice T indica il tensore trasposto), p è la pressione idrostatica, e m la viscosità dinamica. Nella definizione di S per semplicità abbiamo assunto un fluido incomprimibile. Inoltre se il fluido segue la legge di conduzione del calore di Fourier, vale la relazione:

(13)

dove k è il coefficiente di conduttività termica. Molti fluidi, in particolare l’aria e l’acqua, seguono in molte circostanze la legge di Newton e quella di Fourier. Introducendo la legge di Newton nelle equazioni di conservazione per la massa, quantità di moto ed energia nella formulazione lagrangiana si ottiene

(14)

(15)

(16)

con m costante e la funzione di dissipazione F definita come

(17)

Le equazioni (14) e (15) sono note nella letteratura scientifica come il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali di Navier-Stokes.