INTRODUZIONE

Nei corpi con sezione profilata immersi in una corrente fluida, lo strato limite aderisce all'oggetto su tutta la superficie, per cui non si ha distacco di vena e, di conseguenza, non si verifica la formazione di vortici. In questo caso, sulla superficie del corpo si instaurano delle azioni tangenziali che contribuiscono in modo significativo alla forza di resistenza, mentre l'effetto delle azioni normali alla forza di resistenza da' un contributo piccolo. Al contrario, corpi tozzi (bluff-bodies), aventi una dimensione caratteristica D, proiettata in un piano normale alla direzione del flusso incidente, come ad esempio un cilindro a sezione circolare, sono soggetti ad una elevata forza di resistenza. Se tali corpi sono immersi in una corrente fluida di velocità U (avente una densità r e una viscosità dinamica m), per numeri di Reynolds Re = rUD/m > 800¸1.000 si ha formazione e distacco di vortici (Vortex Shedding). Il meccanismo di distacco dei vortici nel caso dei cilindri circolari è stato largamente studiato in letteratura, e questo per il fatto che esso riveste una notevole importanza nella progettazione strutturale di ciminiere e camini industriali. Su queste strutture la concentrazione di vorticità di segno opposto in nuclei ristretti sui contorni del corpo produce, all'esterno di tali zone, velocità rotatorie rilevanti e quindi una forte forza di resistenza causata dall'alto contenuto energetico della scia.

Il distacco di vena che si instaura su tali profili crea una sia di vortici alternati che produce forze di resistenza e di portanza variabili nel tempo, anche se la velocità della vena incidente ha modulo e direzione costante. Infatti, a causa delle asimmetrie che la scia produce nel campo di velocità e di pressione, insorgono forze di direzione trasversale e longitudinale, variabili nel tempo con frequenza pressoché costante.

FREQUENZA DI STROUHAL

Queste forze variabili, nel caso di profilo fermo, hanno caratteristiche aleatorie con densità di potenza spettrale che presenta un picco in corrispondenza di una particolare frequenza f_S, detta frequenza di Strouhal, definita dalla seguente relazione:

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dove S_t è una costante, detta Numero di Strouhal, caratteristica del corpo. Per cilindri a sezione circolare la configurazione del flusso è caratterizzata da una doppia schiera ci vortici controrotanti che si distaccano alternativamente dalla superficie e vengono convogliati a valle dalla corrente.

Influenza del numero di Reynolds

Per 50 < Re < 150 questa struttura è molto ben organizzata e prende il nome di scia di Von Karman, in quanto fu proprio T. Von Karman a darne per primo una formulazione matematica nel 1912. Secondo questa teoria, la scia può essere stabile soltanto quando il rapporto tra la distanza media tra i vortici e il diametro D vale 3,56. Questo dato non è perfettamente confermato dagli esperimenti, in quanto trascura la viscosità del fluido e le dimensioni spaziali dei vortici (che Von Karman ha supposto puntiformi). Molto più rilevante è il fatto sperimentale che i vortici si distaccano con una frequenza tale che il numero di Strouhal S_t mantiene un valore pressoché costante, e molto prossimo a 0,2. Dalla relazione (1) è quindi possibile determinare la frequenza di distacco dei vortici, note la velocità U e il diametro D. E' da notare che questo risultato si estende anche ben al di là del campo di valori di Re citati: il vortex shedding si verifica fino a valori di Re molto grandi, anche se in tal caso S_t tende a passare da 0,2 a 0,3. La differenza rispetto ai numeri di Re sopracitati è che al flusso di scia è ora sovrapposto molto disturbo, e pertanto soltanto una analisi del segnale può mettere in evidenza il dominio di una data frequenza su tutte le altre. Per valori di Re » 10⁶ il flusso è pienamente stocastico e l'energia distribuita su molte frequenze.

CASO DEL CILINDRO FLESSIBILE

Comunque, per quasi tutti i valori di Re il campo è periodico con una ben determinata pulsazione. Poiché la circolazione complessiva del campo deve rimanere costante, il rilascio dei vortici nella scia implica, secondo il teorema di Lagrange-Thompson, che la circolazione intorno al cilindro varia. Per il teorema di Kutta-Jukowsky si ha che anche la portanza sul cilindro varia nel tempo, e precisamente con la stessa legge periodica del distacco dei vortici:

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Se si suppone che il cilindro abbia una massa M e sia supportato elasticamente da una molla di rigidezza K, si pone il problema di evitare che la frequenza f_S, o suoi multipli, della forza di portanza F_P(t) non sia troppo vicina alla frequenza propria w₀ = (K/M)^½ del sistema meccanico. Un'analoga considerazione vale per la forza di resistenza F_R(t), con la differenza che questa pulsa con frequenza 2f_S, ossia doppia di quella di F_P(t). Ci si rende conto di questo notando che, mentre è necessario che si sia compiuto il distacco di due vortici controrotanti affinché la portanza compia un'oscillazione completa, è sufficiente il distacco di un solo vortice di ogni schiera per generare il pericolo della resistenza. L'entità della resistenza è tuttavia inferiore a quella della portanza è perciò meno influente. Quando l'oggetto è libero di vibrare in direzione ortogonale alla vena, se la frequenza propria di vibrazione del corpo f₀ = w₀/2p coincide con la frequenza f_S, esso, eccitato in risonanza, inizia ad oscillare. Mentre nel caso di cilindro fisso il distacco di vortici avveniva disordinatamente nelle varie sezioni lungo il profilo originando forzanti aleatori, ora in tali condizioni per effetto della vibrazione esso si sincronizza con la vibrazione stessa. La conseguenza è che si genera una forza non più aleatoria, ma quasi armonica, con frequenza sicronizzata con la vibrazione. Si verifica cioè un sincronismo tra il distacco dei vortici e l'oscillazione che aumenta l'intensità della forza alternata di portanza. Tale sincronismo si mantiene anche se la velocità U della vena cambia in un certo intervallo di tempo, detto campo di sincronismo. Nel caso del corpo cilindrico il campo di sincronismo varia da 0,9·U_S a 1,3·U_S, essendo

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la velocità della vena in condizioni di risonanza. In risonanza le forzanti aerodinamiche esistono anche in assenza del moto del corpo e possono esserne la causa soltanto se le loro frequenze (o multiple di queste) cadono in vicinanza delle frequenze proprie del sistema. Quest'ultimo non deve avere necessariamente sezione circolare: altre forme (rettangolari, ellittiche ecc…) possono creare analoghi problemi, anche se ad altri valori di S_t. E' importante specificare che il fenomeno del sincronismo, aumentando l'intensità delle forze alternate, può provocare vibrazioni di elevata ampiezza, che possono raggiungere cicli limiti dell'ordine delle dimensioni dell'oggetto stesso.

Dal punto di vista strutturale, la sezione circolare resta, tuttavia, una delle più pericolose, non solo per le strutture snelle, ma anche per quelle più tozze: si ricorda a tal proposito l'incidente verificatosi nel 1965 alla centrale elettrica di Ferrybridge in Inghilterra, nel quale tre delle otto torri di raffreddamento furono completamente distrutte per effetto del vortex shedding.

FENOMENO DI SINCRONISMO

Dalla relazione di Strouhal si ricava che f_s=S_tU/D, ovvero la frequenza di distacco dei vortici varia linearmente con la velocità U della corrente incidente. In condizioni di risonanza (f_s=f₀), come detto, si verifica il sincronismo tra il distacco dei vortici e la vibrazione della struttura. Tale sincronismo, tuttavia, si mantiene anche se la velocità della vena varia in un certo intervallo di sincronizzazione: questo fenomeno di risonanza è chiamato lock-in.

Nell’intervallo di sincronizzazione viene dunque violata la relazione di Strouhal, poiché la frequenza di distacco resta costante ( eguale alla frequenza naturale della struttura) all’aumentare della velocità del vento. L’ampiezza di oscillazione del corpo tozzo si stabilizza al crescere della velocità nell’intervallo di sincronizzazione, indipendentemente dal valore dello smorzamento strutturale: si tratta quindi di oscillazioni auto-limitanti. Normalmente si osserva un’ampiezza pari ad una frazione della dimensione D, mentre le massime oscillazioni in regime di sincronizzazione avvengono per valori del parametro dimensionale U/f₀D (velocità ridotta) dipendente dalla forma della sezione. Alla fine dell’intervallo di sincronizzazione, la frequenza di distacco passa bruscamente al valore previsto dalla relazione di Strouhal. Il lock-in è caratterizzato anche da un altro aspetto molto importante: la risposta di un corpo tozzo in sincronizzazione presenta effetti isteretici. In certi intervalli di velocità U sono possibili due stati di oscillazione stabili per un singolo valore della velocità ridotta. Tale effetto isteretico è indipendente dallo smorzamento meccanico del sistema e può non essere presente per alti valori di smorzamento. Inoltre le forze fluttuanti di portanza su un cilindro oscillante in condizioni di sincronismo sono fortemente maggiorate rispetto ai valori del cilindro fisso. Infine si osserva che il moto del cilindro in condizioni di sincronizzazione può incrementare la resistenza media ed alterare la fase, la sequenza e il percorso dei vortici nella scia, con particolare riduzione di lunghezza della regione di formazione dei vortici. Da tutti queste proprietà si evince come il fenomeno del lock-in sia fortemente non lineare.