Ingegneria del Vento

· ANALISI DEL FLUTTER MEDIANTE IL MODELLO SEZIONE

· INTRODUZIONE

· MODELLO-SEZIONE

· Equazioni del flutter

· Flutter ad 1 DOF e divergenza torsionale

INTRODUZIONE

I fenomeni di instabilità aeroelastica rivestono particolare importanza nei ponti sospesi e strallati di grande luce. L'instabilità aeroelastica per flutter negli impalcati dei ponti sospesi è causato dall'accoppiamento di due modi di oscillazione (normalmente i primi) flessionale e torsionale, che presentano deformate simili. Le relative frequenze vengono avvicinate dall'effetto associato all'azione del vento, il quale introduce energia nel sistema. L'accoppiamento dei due gradi di libertà costituisce l'aspetto caratteristico di questo fenomeno: il moto verticale e torsionale si sincronizzano su di una frequenza comune, il cui valore risulta intermedio tra quelli verticale e torsionale.

Gli effetti delle azioni eoliche sugli impalcati vengono ormai correntemente determinate con analisi nel dominio del tempo, facendo ricorso a simulazioni numeriche in campo non lineare, mediante l'utilizzo di opportune storie di vento artificiali, ed a prove sperimentali in galleria del vento. In quest'ultimo caso la sperimentazione viene condotta sia su sezioni dell'impalcato, che su modelli in scala dell'intera struttura; ciò consente con sufficiente attendibilità di prevedere sia il comportamento d'insieme, sia gli effetti locali (su stralli, veicoli ecc…). Nonostante ciò, conservano grande interesse modelli teorici semplificati, ma in grado di fornire almeno l'ordine di grandezza delle velocità del vento per cui possono eventualmente verificarsi fenomeni di instabilità.

L'analisi di questo problema nel dominio delle frequenze è possibile se si effettua una linearizzazione dei fenomeni, introducendo degli opportuni coefficienti di forza ricavati da sperimentazioni di modelli in scala. I motivi fondamentali che consentono di affrontare il problema con un approccio analitico di tipo lineare sono i seguenti:

- in prima approssimazione la struttura può considerarsi avente un comportamento elastico-lineare, con una risposta di tipo sinusoidale smorzata esponenzialmente;

- il passaggio dalla condizione di stabilità all'instabilità avviene in condizioni di moto oscillatorio incipiente, attorno alla configurazione di equilibrio per vento medio costante.

L'assunzione di queste due ipotesi consente di eseguire l'analisi del flutter su un sistema lineare elastico.

MODELLO-SEZIONE

Uno dei modelli analitici più utilizzati per l'analisi del flutter è il modello a due gradi di libertà, noto in letteratura come Modello-Sezione (Figura 1).

Figura 1

In questo modello si fanno le seguenti ipotesi:

- il flusso incidente è bidimensionale, incomprimibile e laminare;

- la forma del profilo è generica e possiede due gradi di libertà: spostamento verticale flessionale h e rotazione a;

- il moto è limitato a piccoli spostamenti attorno ad una posizione di equilibrio statico nei due gradi di libertà verticale e torsionale. Il sistema viene quindi considerato lineare e viene applicata la sovrapposizione degli effetti.

Si dimostra che l'insieme delle forze dovute al vento agenti sul modello è equivalente ad una forza di portanza L applicata nel baricentro dell'impalcato e avente direzione verticale, e ad un momento aerodinamico M torsionale, con asse-momento ortogonale al piano della figura.

Le equazioni del moto, per un impalcato a geometria simmetrica, si scrivono allora come:

(1)
(2)

dove M_h e I_a sono, rispettivamente, l'inerzia flessionale (massa) e torsionale per unità di lunghezza, C_h e C_a i coefficienti di smorzamento viscoso flessionale e torsionale, K_h e K_a le rigidezze elastiche flessionale e torsionale. Se l'impalcato avesse una geometria non simmetrica si sarebbero dovuti aggiungere nella (1) e nella (2) i termini di accoppiamento inerziale, definiti dal momento statico di massa. Per mezzo di questi coefficienti si vogliono simulare i parametri strutturali inerziali, di smorzamento ed elastici dell'impalcato.

Il modello sezione, è costituito quindi da una sezione dell'impalcato di larghezza B in opportuna scala, vincolato in maniera tale che (tenuto conto del fattore di scala) le frequenze proprie di oscillazione verticale e torsionale rappresentino le frequenze proprie del primo modo verticale e del primo modo torsionale del ponte nel suo complesso. Questo è dovuto al fatto che si è riscontrato che nei ponti di grande luce i fenomeni aeroelastici coinvolgono soltanto pochi modo propri, per cui, in prima approssimazione, è lecito considerarne solamente due. E' importante precisare che l'analisi modale deve essere condotta a partire da una significativa condizione di equilibrio, ovvero tenendo conto sia dei carichi verticali che della parte "statica" delle azioni orizzontali del vento. A rigore, la validità del modello sezione a due gradi di libertà è subordinata alla circostanza che la prima forma modale verticale e la prima torsionale siano tra loro simili, come peraltro avviene sempre nei ponti sospesi di grande luce.

Equazioni del flutter

Come già detto il flutter è un tipico fenomeno aeroelastico di auto-eccitazione di un sistema strutturale che, a causa del moto, estrae energia dal flusso incidente. Se al sistema viene fornito un disturbo iniziale, il moto che ne deriva può essere di decadimento o di divergenza (cioè le oscillazioni possono essere smorzate o crescere indefinitamente), a seconda che l'energia estratta dal fluido sia minore o maggiore dell'energia dissipata dal sistema tramite lo smorzamento meccanico. La condizione critica di flutter è quella per la quale il sistema è in una condizione di incipiente instabilità, quella cioè nella quale l'energia dissipata è pari all'energia estratta.

Poiché nel modello sezione si considera costante la velocità del vento, l'approssimazione insita nello studiare il fenomeno tenendo conto della sola velocità media U, corrisponde a considerare le fluttuazioni dovute alla turbolenza come disturbi in grado di innescare una oscillazione autoeccitata qualora la velocità media sia superiore ad un valore critico opportunamente definito.

Figura 2

Per poter affrontare lo studio del flutter nei ponti sospesi, originariamente si sono adottate le teorie disponibili per i profili alari. Nel caso di un'ala sottile immersa in un flusso fluido subsonico bidimensionale incomprimibile, Theodorsen ha dimostrato che, partendo dai principi di base della teoria del flusso a potenziale, le espressioni di L e M sono lineari in h e a e nelle loro derivate prime e seconde:

(3)
(4)

essendo C(k) una funzione complessa definita da:

(5)

e detta Funzione Circolatoria di Theodorsen, k = bw/U la frequenza ridotta, w la pulsazione circolare, r la densità dell'aria e b = B/2 (si veda la Figura 2). Nella sua classica formulazione, Scanlan ha dimostrato che, nell'ambito delle piccole oscillazioni, le forze di auto-eccitazione assumono una espressione simile alle equazioni (3) e (4), in funzione delle coordinate h ed a e delle rispettive velocità (derivate prime), secondo le seguenti relazioni:

(6)
(7)

in cui i termini legati alla derivata seconda di h e a (presenti nelle (3) e (4)) sono stati trascurati, avendo una importanza trascurabile nei problemi strutturali di ingegneria del vento. I coefficienti H*_j(K) e A*_j(K) che compaiono nelle (6) e (7) sono detti derivate aeroelastiche e risultano funzioni della grandezza adimensionale frequenza ridotta K definita da:

(8)

Le derivate aeroelastiche sono ottenibili attraverso prove sperimentali in galleria del vento. Le procedure adottate per valutarle sono diverse. Due di queste sono le seguenti:

· si impone uno spostamento verticale o torsionale al modello dell'impalcato in galleria del vento: le derivate sono basate sul

comportamento nel transitorio a partire da quando il modello viene lasciato libero;

· si impongono al modello delle oscillazioni forzate in modo da seguire un moto predefinito e si misurano le forze aerodinamiche su

di esso, utilizzando misuratori di pressione disposti sul modello.

Si dimostra che, per profili piatti lisci e sottili, le derivate aeroelastiche sono esprimibili in funzione della parte reale F(k) e della parte immaginaria G(k) della Funzione Circolatoria di Theodorsen definita dalla (5). L'andamento di F(k) e di G(k) è riportato in Figura 3.

Figura 3

Poiché normalmente nelle (6) e (7) i termini in h sono trascurabili rispetto a quelli in a e alle derivate prime di h e a, le oscillazioni del profilo sono descritte dalle due equazioni seguenti:

(9)
(10)

Flutter ad 1 DOF e divergenza torsionale

Se l'impalcato del ponte ha una sezione particolarmente tozza, può accadere che i termini misti, ossia i contributi ad L dipendenti da a e dalla sua derivata prima, e quelli a M dipendenti dalla derivata prima di h, risultino trascurabili rispetto agli altri termini. Le equazioni del moto assumono allora la forma disaccoppiata:

(11)
(12)

In tal caso l'instabilità aeroelastica può essere legata alle vibrazioni autoeccitate di un preciso modo, di solito quello torsionale, per cui l'unico grado di libertà a è sufficiente a descrivere la dinamica del sistema. La (12) può essere riscritta nella forma seguente:

(13)

ovvero anche:

(14)

dove si è indicato con:

(15)
(16)

rispettivamente lo smorzamento aerodinamico e la rigidezza aerodinamica. I coefficienti C*_a e K*_a sono positivi se lo sono anche rispettivamente A*₂ e A*₃. Al crescere di U possono verificarsi due situazioni:

· il coefficiente di smorzamento globale (C_a-C*_a) può annullarsi o addirittura assumere valori negativi; in questo caso, noto come flutter ad un grado di libertà, per (C_a-C*_a) < 0 un disturbo impresso al profilo viene progressivamente amplificato a causa di un trasferimento di energia dal fluido alla struttura (dissipazione negativa), mentre in condizioni critiche, per (C_a-C*_a)=0, l'oscillazione risulta armonica,

· il coefficiente di rigidezza globale (K_a- K*_a) può annullarsi o addirittura assumere valori negativi; in questo caso, noto come divergenza torsionale, per (K_a- K*_a) < 0 il momento aerodinamico instabilizzante prevale sul momento di richiamo elastico. In questa situazione si verifica una instabilità statica non equilibrata dalla rigidezza torsionale: la struttura diverge, ruotando fino alla distruzione. Tale fenomeno è tuttavia poco probabile per le strutture da ponte.